Проверил еще раз - на страничке для скачивания библиотеки UIPEthernet так прямо и указано, что она для ENC28J60.
В программе FLProg выбираю W5100. Запускаю компиляцию, когда все готово.

И как уже писал выше - убираю строчку с тем, что написалось "автоматом", и подключаю на это место UIPEthernet. Работает!
Еще, очень может быть - иногда для стабильной работы нужно принудительно выставлять скорость сети 10Мбит. При 100Мбит начинаются непредсказуемые разрывы связи (возможно, зависит от конкретных модулей?).